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2011年10月25日 (火)

マクスウエル方程式のローレンツ変換の計算…divB=0

多くの教科書に掲げており、いまさらだけど、見やすくすることにこころがけた。
一色だと二つの慣性系はK系xとK'系x'で区別されるがここではxを黒xに、x'を緑xで表す。黒xに際して正方向に速度vで動く緑K'系xの慣性系同士のローレンツ変換は

 

          

K'系からK系みたら-v方向に動くので、x-vtの-vが+vになる。t-vx/c^2の-vが+vになる。

ここでv/c≡βと置き
x/∂x、∂t/∂x、∂x/∂t、∂t/∂tをそれぞれ計算すると

       

∂x/∂x、∂t/∂x、∂x/∂t、∂t/∂tはそれぞれ

       

マクスウエル方程式のひとつdivB(r,t)=0はK'系ではどのように見えるか。かりにdivB(r,t)

 と書き  は  なのだが ∂y/∂x、∂z/∂xは0なので落とせる。したがって

By/∂yの計算も∂x/∂y=0、∂z/∂y=0かつ∂t/∂y=0

同様に

よって

 …(1)

もしK系で観測される磁束密度BK'系で観測される磁束密度Bの間に以下のような関係があると仮定すると、成分で

…(2a)

  …(2b)

  …(2c)

先ほどの(1)にこの3つの式を入れると

第一項は0となるが[ ]カッコの中は電磁誘導の式になる。第一項と第二項とも0となるのでdivB=0となる。

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コメント

相対性理論において、時間と空間とが変化する仕組みが、解明出来ました。この仕組みによって、ローレンツ変換が導かれ、光速度不変の原則を証明することが出来ました。

高速運動により、物質の質量が増加することにより、物質時間が遅れます。そうなると、物質を動かす4種類の力は同じ時間内でも、遠くまで届きます。空間はそれだけ伸び、逆に大きさを変えない剛体は縮みます。

 又、高速移動に伴い、前方から来る4種類の物質を動かす力(重力・電磁力・強い力・弱い力)は速く伝わり、後方から来る物質を動かす力は遅く伝わる様になります。そうなると、方向により物質時間の経過が異なって来ます。

この2つ変化を数式にしたのが、CATBIRD変換式
t’=t*(√(C^2-2VCcosθ+V^2)/C )/(√(1-V^2/C^2))
x’=(x-Vt)/√(1-(V^2/C^2))
y’= y/√(1-(V^2/C^2))
z’= z/√(1-(V^2/C^2))
「※又は、C*t*cosθ=x なので、t’=t*(√(C^2-(2Vx)/t +V^2)/C )/(√(1-V^2/C^2))としても良いでしょう。」
です。

 例えば、高速移動により、前方から来る物質を動かす4つの力が速く到達する様になっても、物質を構成する基本粒子の質量が増加するので、物質反応の速度は速くなるのか、遅くなるのかは一概には言えません。2つの変換式を統合した下記のCATBIRD変換式で、時間の変化を確かめることになります。

 この変換式により、観測者がどの様な速度で動きながら、どちらの方向へ向かう光の速度を観測しても、その速度は常に299,792.5㎞/秒で計れます。
 試しに、(x,y,z,t)=(cosθ,sinθ,0,1)を、√(x'^2+y'^2+z'^2)=c*t'に代入して見て下さい。計算を簡単にする為、z=0の平面上で、1秒間に移動した光を想定していますが、3次元でも、何秒間でも同じ理論です。
詳細は
http://d.hatena.ne.jp/tmcatbird/
をご参照ください。CATBIRD変換よりローレンツ変換が導かれ、光速度不変の原則が証明されています。

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