マクスウエル方程式のローレンツ変換の計算…divB=0

多くの教科書に掲げており、いまさらだけど、見やすくすることにこころがけた。
一色だと二つの慣性系はK系xとK'系x'で区別されるがここではxを黒xに、x'を緑xで表す。黒xに際して正方向に速度vで動く緑K'系xの慣性系同士のローレンツ変換は

　　　　 　　 　　

K'系からK系みたら-v方向に動くので、x-vtの-vが+vになる。t-vx/c^2の-vが+vになる。

ここでv/c≡βと置き
∂x/∂x、∂t/∂x、∂x/∂t、∂t/∂tをそれぞれ計算すると

　 　 　 　

∂x/∂x、∂t/∂x、∂x/∂t、∂t/∂tはそれぞれ

　 　 　 　

マクスウエル方程式のひとつdivB(r,t)=0はＫ'系ではどのように見えるか。かりにdivB(r,t)を

　と書き 　は 　なのだが ∂y/∂x、∂z/∂xは0なので落とせる。したがって

∂By/∂yの計算も∂x/∂y=0、∂z/∂y=0かつ∂t/∂y=0

同様に

よって

　…(1)

もしK系で観測される磁束密度BとＫ'系で観測される磁束密度Bの間に以下のような関係があると仮定すると、成分で

…(2a)

  …(2b)

  …(2c)

先ほどの(1)にこの３つの式を入れると

第一項は0となるが[ ]カッコの中は電磁誘導の式になる。第一項と第二項とも0となるのでdivB=0となる。

用語…近接作用

私がこのように理解したということですが、
大胆に考えると、指定された位置と時刻における電場や磁場の強さがのみが問題であって電場や磁場の発生元には関係ない、という立場では。例えば「光速は光源の速度によらず一定」は、そういう感じがする。

　　F=eE+ev×BはeE(x,y,z,t)+ev×B(x,y,z,t)

は(x,y,z,t)において速度vで動く電荷eかかる力と解釈される。そこには電場E(x,y,z,t)と磁場B(x,y,z,t)が観測される。

(この記事は書きかけです)

相対運動の疑問2…電磁誘導

工業高校の電気では最初の関門のひとつであるコイルの電磁誘導。じぶんも苦労したが落ち着いて進めていけば理解はそれほど難しくはない。

○レンツの法則…コイルを固定した状態で磁石を動かす場合。
　コイルに棒磁石を近づけるとコイルに電流が流れる。コイルの抵抗をR、電流の大きさをI、電圧をφとすればコイルの電圧はもちろんφ＝IRである。今度はコイルの径内を貫く磁束の総量をΦとすれば

　　　

で与えられる。これをレンツの法則という。－符号は右ネジの向きに電流を流そうとする時に＋と定義され、右ネジの向きとは逆は－と定義される。この微分形は回路を一周した積分

　　　　をストークスの定理から面積分に置き換えると となる。一方dΦ/dtの方は から　　　　　　　　となり、ふたつをつなげると

　　　　

微分形のファラディの電磁誘導の法則は

　　　　　

となる。これはコイルを固定した状態で磁石を動かした時の式で、右辺の∂B/∂tはある点における磁束密度Bの時間変化であり、それによって生じる電場Eの磁束周りを一周した時の差である。

○次は磁石を固定した状態でコイルを動かす。これもコイルに磁束の変化があるので起電力が生じる。これもレンツの法則である。
　この場合もちろん∂B/∂tは０なので微分形のファラディの電磁誘導の法則は使えない。コイルを動かすことによって磁束の変化を調べる。コイルを速度vで動かすとdt後にはvdt移動している。最初をC、dt後をC とすれば磁束密度を包み込む面は一般的に 　なので、この場合

面の単位ベクトルncとncは向きが逆なのでSc面の積分は－となる。したがって

結局CからC移動したときの磁束の変化は となる。これは結局を計算すればよいことになります。これは側面の計算でndSはvdt×drしたがって積分は

ベクトルの公式A･(B×C)=C･(A×B)=-(B×A)･Cを使えば

これから起電力φ=dΦ/dtの表式がローレンツ力によるものだと分かる。

このように相対運動で立場が違うと異なる法則を使うのはちょっと変であり不自然である。
もし両方動いていたならその説明は複雑でとても説明できない。

相対運動の疑問1

電磁気学でもっとも分からなかった話題のひとつ。
参考文献として砂川さんの「理論電磁気学第３版」340ページの例題です。

まずZ軸にそった静磁場(0,0,Bz)に荷電粒子eが置かれている。この粒子はK系では静止しているものとする。こうした場合、荷電粒子eにかかるローレンツ力は０となるのでいくら時間経っても静止しています。なをグラフの-Y軸は

この図をZ軸を上から見て反時計方向に90度回転したためY軸正方向が向こう側になったため手前が負の方向になる。

今度はK系に対してX軸に正方向に速度Vで動く慣性系K'系を考える。K'系にいる観測者から荷電粒子eを見るとX'軸に対して負の方向にVで動いていることになる。

K'系から見たこの荷電粒子eにかかるローレンツ力は
ev×BzとなりvとBzは90度なので、かかる力はY軸の向こう側つまりFy=ev･Bzとなり、z'軸を中心とするを訂正→X'-Y'平面と平行な面での円運動と予想される。普通にK系が考慮されなければそうなると思われる。しかしこれは矛盾する。もしK'系にいる観測者からK系をみたら荷電粒子はK系の座標にくくりつけられて見えるハズだ。つまり円運動でなく負の方向に等速直線運動していなければならない。
そのためにはev･Bzの力とは逆方向に同じ大きさ -ev･Bzが働いてキャンセルするようになっているとのこと。-ev･Bzというのは電場Eyが担っているとのこと。

ここが分からない。最初K系ではローレンツ力 eE+ev×Bはそれぞれ0+0×Bz …(結局０)
がK'系に移るとeEが突如染み出して磁場による力ev×Bをうち消すような格好になっている。静磁場なのに電場が染み出したのか不明である。