« 重心1 | トップページ | 力学的エネルギー保存則とは禁止法則? »

2011年9月21日 (水)

運動量保存則2…複数個の場合

二つの質点の話だったが複数の場合はどうか。
三つの場合はそれぞれの座標軸に投影して、X軸、Y軸で考える。こうすれば直線上に並んだ質点の重心として扱える。

Jushin2

まずx1とx3の重心を求める。
Xg13(m1+m3)=m1x1+m3x3、m1+m3≡m13

次ぎにXg13とx2の重心考えると
Xg(m13+m2)=m13Xg13+m2x2
なのだが重心m13Xg13はそのままm1x1+m3x3なので

Xgx(m1+m2+m3)=m1x1+m2x2+m3x3

となる。Y軸も同様に

Xgy(m1+m2+m3)=m1y1+m2y2+m3y3

N個の質点系の場合は

  

  

  

まとめてベクトルrを使うと

   

これも時間で割れば系全体の運動量は

    …(1)

となる。質点miにかかる力の内、系内の他の質点かかる力をFkiとし、それ以外の外からかかる力をFiすればmiの運動方程式は

   

ただしFiiは自分が自分自身からの力なので0となる。質点系全体にかかる力は総和

   

ところで右辺の最後の項はFikという力は作用反作用の法則から同じ大きさで向きが逆のFkiという力もある。つまりFik=-Fkiである。そのためこの和は0である。したがって右辺の最後の項は0となり質点系全体にかかる力は外力のみかかり、内部の力は寄与しないことがわかる。これは外力がかからなければ当然

   

となり、時間で割る前の式(1)はconstとなるので、外力がかからなければ系の運動量は一定に保たれる。このことから分かるように複数個からなる質点系でもその重心にあたかも全質量が一点に集まったひとつの質点の運動と考えてもさしつかえない。

流体もしくは連続的に広がっている時は積分をつかう。

全質量は密度をρ(x,y,z)とすればM≡∫ρ(x,y,z)dV
mixiの部分はxρ(x,y,z)dVである。したがって

Xgx∫ρ(x,y,z)dV=∫xρ(x,y,z)dV
以下同様に
Xgy∫ρ(x,y,z)dV=∫yρ(x,y,z)dV Xgz∫ρ(x,y,z)dV=∫zρ(x,y,z)dV
まとめてベクトルr

Xg∫ρ(x,y,z)dV=∫rρ(x,y,z)dV

これらが収束するかは条件がある。Σmiの項で数が無限大であったり、ρ(x,y,z)が空間全体にまんべんなく広がっていたなら収束しないだろう。広がっていても無限遠で十分早く0になれば有限となる。

これを時間で割れば全運動量は

MVg=∫vρ(x,y,z)dVとなる。

« 重心1 | トップページ | 力学的エネルギー保存則とは禁止法則? »

力学」カテゴリの記事

コメント

コメントを書く

コメントは記事投稿者が公開するまで表示されません。

(ウェブ上には掲載しません)

トラックバック

この記事のトラックバックURL:
http://app.cocolog-nifty.com/t/trackback/564370/49395283

この記事へのトラックバック一覧です: 運動量保存則2…複数個の場合:

« 重心1 | トップページ | 力学的エネルギー保存則とは禁止法則? »

リンク

雑談コーナー

無料ブログはココログ