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2011年9月19日 (月)

重心1

重心とは、重力の作用点
と定義されている。まず計算してみよう。質点1がm1、原点からの距離がx1で質点2がm2、原点からの距離がx2の場合、支点をXgとすれば、

Jushin

力のモーメントを考えると

質点1はm1G(Xg-x1)で反時計方向に回ろうとするモーメント
質点2はm2G(x2-Xg)で時計方向に回ろうとするモーメント
Gは重力加速度。

これも釣り合っていれば

  

で式の変形のみである。両辺のGを落として

    …(1)

から

   

が求める重心である。

だが重力使っての重心求めるのはあまり気持ちよくない。しかもGも途中からなくなっている。回転の時は遠心力がmrω2と表される。この場合m1G(Xg-x1)=m2G(x2-Xg)式のGの所がω2になるだけである。

(1)式をみると運動量の合成と見てとれないか、この式を時間で割ってみると

   

となり、右辺は入射時の各質点の運動量の合計である。すると左辺の質量の合計をMと書き換えて

    …(2)

さらに散乱後も運動量保存則からMVgの値は変わらない。もしかりに合計の重心質量Mしか見なかったら散乱が起きていることは判明できないだろう。Mを一つの粒子としてみれば等速直線運動しているだけである。二つの質点には相互作用の力は働いているが作用反作用の法則のおかげで、重心Mには力は働かずに慣性の法則が適応状態にあると言える。

このように一つの粒子とみなしうるのは運動量だけみればという話であるから運動量は速度より有用性が高いと言える。

このことは力学系の状態を表すのに位置と速度が必要だが、1個の質点の場合なら速度だけでもいい。だけど複数個になると運動量で表す方が都合がよいように思える。つまり相互作用がある場合、速度はたえず変化する。ところが運動量で表せば二つの質点でも一つの粒子として扱える便利さがある。

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